세팅

• 끝내야 하는 일의 총 양을 1 이라고 하고 A, B, C 세 사람이 하루에 할 수 있는 일의 양을 a, b, c 라고 하자. 그러면 다음과 같은 식을 적어 볼 수 있다.
• 각 사람이 하루에 할 수 있는 양을 a,b,c 라고 정할 것을 다시한번 기억하자!
• 결국 b를 먼저 구하고, b x 숫자 > 1 가 되는 최소 숫자가 정답이 될 것이다.

풀이

• A,B,C 가 같이 하면 5일: \[5a + 5b + 5c = 1 \qquad (1)\]
• A,B 가 같이 하면 10일: \[10a + 10b = 1 \qquad (2)\]
• B,C 가 같이 하면 6일: \[6b + 6c = 1 \qquad (3)\] 이 식들을 풀어서 a,b,c 를 구하면 다음과 같다.

##       [,1]
## a =  0.033
## b =  0.067
## c =  0.100

이 식을 푸는 방법은

식 (1)에 2를 곱하면 \[10a + 10b + 10c = 2 \qquad (4)\] 이 되고 여기서 식 (2) 를 빼면 \(c=1/10\) 을 구할 수 있다.

c의 값을 알았기 때문에 이를 식 (3)에 넣어서 b를 구하면 되고 똑같은 방법으로 b를 알았기 때문에 이를 식 (2)에 넣어서 a를 구해주면 된다.

b가 하루에 하는 일의 양은 0.067 이고 끝내야 하는 일의 총양은 1이므로

• b가 10일 일하면 0.67
• b가 15일 일하면 1.005
• b가 20일 일하면 1.34

따라서 혼자서 일하는 경우에, b가 15일을 일하면 일을 끝낼 수 있게 된다.

R code

위의 선형 방정식을 푸는 것은 R로도 다음과 같이 간단하게 해볼 수 있다.

X = matrix(c(5,5,5,
             10,10,0,
             0,6,6),
           nrow = 3,
           ncol = 3,
           byrow = TRUE)
y = matrix(c(1,1,1), 
           nrow = 3,
           ncol = 1)
sol = round(solve(X,y),3)
row.names(sol) = c('a = ','b = ','c = ')
print(sol)

##       [,1]
## a =  0.033
## b =  0.067
## c =  0.100

세팅

• 풀장 전체의 크기를 임의로 1로 가정하자. 크기는 굳이 1이 아니라 아무 숫자로 가정해도 상관없다. 편의상 3, 4, 6시간 걸린다는 정보가 있으니 12로 가정하자.

• 위에서는 하루당 A,B,C가 할 수 있는 일을 a,b,c 로 생각했다면, 이번에는 A,B,C 관이 한시간에 채울 수 있는 물의 양을 a,b,c 라고 생각하자.

• 나머지는 위의 풀이와 비슷하게…. 이번에는 1이 아니라 12로 설정했기 때문에 다음과 같이 식을 적어볼 수 있다.

풀이

• A,B 관을 이용하면 3시간: \[3a + 3b = 12 \qquad (5)\]
• B,C 관을 이용하면 4시간: \[4b + 4c = 12 \qquad (6)\]
• C,A 가 같이하면 6일: \[6a + 6c = 12 \qquad (7)\] 마찬가지로 이 식들을 풀면

##      [,1]
## a =   1.5
## b =   2.5
## c =   0.5

문제로 돌아가서, A,B,C 관을 동시에 사용할 경우 걸리는 시간을 x 라두면 \[x\cdot(a+b+c)=12\] a+b+c가 4.5 이므로 x 는 \(2\frac{2}{3}\) 이다. 따라서 걸리는 시간은 \(2\frac{2}{3}\) 시간이고, 이는 2시간 40분이다.

R code

위의 선형 방정식을 푸는 것은 R로도 다음과 같이 간단하게 해볼 수 있다.

X = matrix(c(3,3,0,
             0,4,4,
             6,0,6),
           nrow = 3,
           ncol = 3,
           byrow = TRUE)
y = matrix(c(12,12,12), 
           nrow = 3,
           ncol = 1)
sol = round(solve(X,y),3)
row.names(sol) = c('a = ','b = ','c = ')
print(sol)

##      [,1]
## a =   1.5
## b =   2.5
## c =   0.5